ABSTRACT
Elastomeric bushings are structural elements that are used in automotive suspension systems. An elastomeric bushing is a hollow cylinder that is contained between an outer steel cylindrical sleeve and an inner steel cylindrical rod. The outer steel cylindrical sleeve is connected to the components of the suspension system and is used to transfer forces and moments from the wheel to the chassis. The elastomeric material reduces the shock and vibration in this connection. Dynamic simulations of the automotive suspension system involve the interaction between many components. The accurate determination of the transmitted forces and moments between the components, the motion of the components, stress in the components, and energy dissipation is affected by the quality of the bushing model. Several Pipkin-Rogers models have been proposed for the axial mode, radial mode, and torsional mode and modified Pipkin-Rogers models have been proposed for the axial mode and torsional mode. In this research, the modified Pipkin-Rogers model for the torsional mode was verified in a frequency-related rotational angle control test. The results showed that the moment outputs of the modified Pipkin-Rogers model were in very good agreement with those of the Pipkin-Rogers model in the sinusoidal rotational angle control test.
-
KEYWORDS: Viscoelasticity, Lianis model, Pipkin-Rogers model, Modified pipkin-rogers model
-
KEYWORDS: 점탄성학, 리아니스 모델, 핖킨-라저스 모델, 수정된 핖킨-라저스 모델
NOMENCLATURE
Rotational Angle Dependent MomentRelaxation Function
1. 서론
자동차는 현대인에게는 필수품으로 자리잡고 있으며, 안정성과 승차감이라는 민감하고도 중요한 사항이 항상 함께하고 있는 제품이다. 탑승자의 승차감에 중요하게 관련되는 부품으로는 현가장치(Suspension System)가 있으며, 현가장치는 차축과 차체를 연결하여 차체의 중량을 지지하고, 노면에서 전달되는 진동이나 충격이 차체에 직접 전달되지 않도록 하여 차체의 손상을 방지하고 승차감을 좋게 하는 역할을 한다. 또한, 자동차의 현가장치에서 부싱을 통하여 전달되는 하중은 자동차의 부품들에 대한 피로 수명 예측 및 동특성에 직접 관련되는 중요성으로 인하여 자동차 부싱에 대한 연구가 꾸준하게 진행되어 왔다.
자동차 현가장치에 포함되는 작은 부품인 일래스토메릭 부싱(Elastomeric Bushing)은 여러 가지의 형상을 가지고 있고, 전달되는 하중의 형태도 다양하며, 부싱의 가장 단순한 형상은 바깥쪽의 실린더형 슬리브(Sleeve)와 안쪽의 실린더형 축(Axis) 사이에서 가운데가 비어있는 실린더의 형상이다. Wineman과 Lee
1-3 등은 미국 미시간대학교 기계공학과의 자동차 구조 내구성 센터(Center for Automotive Structural Durability Simulation)에서 수행한 1차원 반경 방향 변위 제어 실험(One Dimensional Displacement Control Test for Radial Mode)으로부터 주어진 하중과 변위와의 관계가 비압축성, 점탄성 성질을 보임을 확인하였다.
점탄성에 대한 개념은 등방성 물질(Isotropic Materials)에 대한 연구를 수행하였던 Boltzman
4으로부터 유래를 찾아볼 수 있으며, Adkins와 Gent
5는 원통형 부싱에 대해 여러 가지 실험을 통하여 힘과 변위와의 관계를 발전시켰으나, 이 연구는 선형탄성론에 입각한 것으로 비선형성과 점탄성 성질을 설명하기에는 어려움이 있었다.
Coleman과 Noll
6은 근사적 구성방정식을 완성하기 위하여 페이딩 메모리 개념(Fading Memory Concept)을 이용하여 등방성 점탄성고체에 대한 3차원 구성방정식을 완성하였으며, McGuirt와 Lianis
7는 스티렌-부타디엔 고무(Styrene-Butadiene Rubber)에 대한 실험을 통하여 비선형 점탄성 구성방정식을 완성하였고, 이 식은 Lianis Model로 명명되어 지금까지도 이용되고 있다. 또한, Pipkin-Rogers
8는 점탄성 거동에 대한 비선형 적분 형태의 식을 보여주었다. 이러한 점탄성학에 대한 이론들은 Wineman과 Lee
1,3에 의하여 미국 포드자동차의 현가장치에 부착된 일래스토메릭 부싱에 적용되었고, Lianis의 실험데이터를 활용한 구성방정식을 이용하여 회전 방향 모드에 대한 점탄성 모델이 완성되었으며, 이는 회전 방향 모드에 대한 핖킨-라저스모델(Pipkin-Rogers Model)로 명명되었다.
핖킨-라저스 모델은 리아니스(Lianis)의 제안식에 기초를 둔 리아니스 모델에 비하여 간단히 정리된 장점은 있으나 현장에서 편리하게 사용되기에는 여전히 복잡한 성질을 가지고 있으므로, 일래스토메릭 부싱에 대하여 더욱 편리하게 적용할 수 있는 새로운 모델이 필요로 하게 되었으며, Lee
9,10는 일래스토메릭 부싱의 축방향 모드와 회전 방향 모드에 대하여 수정된 핖킨-라저스 모델(Modified Pipkin-Rogers Model, MPR 모델)을 완성하였으며, 완성된 MPR 모델에 대하여 스텝 회전 변형 각도 제어 실험(Step Rotational Angle Test)를 활용하여 검증하였다.
본 연구에서는 Lee
10가 완성한 일래스토메릭 부싱의 회전 방향 모드에 대한 수정된 핖킨-라저스 모델에 대하여 사인함수의 회전 변형 각도 제어 실험(Rotational Angle Control Test)을 사용하여 주파수 관련 검증을 통하여 MPR 모델에 대한 Lee
10의 내용을 검증하고 일반적으로 사용 가능함을 증명하였다.
2. Lianis Model과 Pipkin-Rogers Model
리아니스 모델과 핖킨-라저스 모델은 본 연구내용의 기초가 되는 핵심적인 내용이므로 Lee
9,10에 기술되어 있으나 전체적인 내용을 이해하는데 도움을 주고자 본 논문에서도 간략하게 언급한다.
퍼듀대학교(Purdue University)의 Lianis
7는 스티렌-부타디엔 고무에 대한 실험을 통하여 응력과 변형률 간의 구성방정식을 만들었고, Lianis가 실험을 통하여 제안한 기본식을 응력과 변형률의 관계로 나타내면 다음
식(1)과 같다.
σ(
t)는 응력텐서이며,
p(
t)는 비압축성의 제한으로부터 온압력이며,
t는 현재의 시간,
s는 과거에서 현재까지의 시간,
B는 왼쪽 코시-그린 텐서(Left Cauchy-Green Tensor),
Ct (
s)는 오른쪽 상대 코시-그린 텐서(Right Relative Cauchy-Green Tensor),
I1과
I2는
B의 스트레인불변량(Strain Invariants)이고,
I는 3 × 3 항등행렬(Identity Matrix)이며,
식(1)에 필요한 모드에 대하여 경계 조건을 적용하여 원하는 리아니스 모델을 완성할 수 있다. 또한, 실험값인
P0(
t),
Q0(
t),
P1(
t),
Q1(
t)은 스티렌-부타디엔고무의 0
oC 에서 시간에 따라 변하는 물질의 특성이며,
a,
b,
c,
d는 일정한 값을 갖는 물질의 특성으로, 실험적으로 구해진 값들은 Lee
10에 나타나 있다.
2.2 Pipkin-Rogers Model
미국 미시간대학교 기계공학과의 자동차 구조 내구성 센터(Center for Automotive Structural Durability Simulation)에서는 현가장치의 동역학적 현상을 정확히 예측하기 위하여 정확한 자동차 부싱의 모델이 필요하게 되었고, Lee와 Wineman
1,3은 복잡한 리아니스 모델을 대체할 수 있는 새로운 점탄성 모델로서, Pipkin과 Rogers가 제안한 형태의 식을 부분적분법으로 정리한 후 하중과 변형량에 대한 새로운 관계식을 정립하여 이를 핖킨 라저스 모델로 명명하였고, 이 관계를 회전 방향 모드에 대하여 제안한 기본식은 다음
식(2)와 같다.
M(t)는 현재 시간 t에서의 모멘트를 나타내며, g(s)는 시간 s에서의 회전변형각도를 나타내고, H는 회전변형각도에 의존하는 모멘트 완화함수(Rotational Angle Dependent Moment Relaxation Function)이다.
3. 자동차 현가장치의 일래스토메릭 부싱
3.1 회전 방향 모드와 MPR 모델
자동차 현가장치의 일래스토메릭 부싱은 다양한 형상을 가지고 있으나, 본 연구에서 고려한 형상은 가장 단순한 형태인 바깥쪽의 실린더형 슬리브와 안쪽의 실린더형 축 사이에서 가운데가 비어있는 실린더의 형태를 가지며, Lee
10의 회전 방향 모드에 대한 변형 전과 변형 후의 형상은
Fig. 1과 같다.
Fig. 1Reference and current configurations in torsional mode
회전 방향 모드에 대한 리아니스 모델을 이용하여 완성된 핖킨-라저스 모델과 이를 활용하여 MPR 모델을 완성한 과정은 Lee
10에 자세히 언급되어 있으므로 여기에서는 생략하며 완성된 MPR 모델은 다음
식(3)과 같다.
Lee
10는 회전 방향 모드에 대한 핖킨-라저스 모델로부터 MPR 모델을 완성하는 과정에서 스텝회전변형각도 제어실험(Step Rotational Angle Control Test)을 활용하였고, 완성된 MPR 모델의 오차를 확인하는 과정에서도 스텝회전변형각도 제어실험을 이용하였으며, 상대오차는 평균 15% 이내로 점탄성학에서의 유효한 오차라고 언급하였고, 이를 통하여 제안된 MPR 모델은 새로운 부싱 모델로서 회전 방향 모드에 대하여 사용이 가능하다고 언급하였다. 본 연구에서는 스텝 회전 변형 각도 제어실험을 이용하여 만들어진 새로운 MPR 모델이 일반적으로 사용이 가능한 것을 보여주고자 부싱의 안쪽 반지름에 회전변형각도 (g(t))를 다음
식(4)와 같이 사인함수로 가정하여 제시하였다.
현재의 시간 t의 단위는 초(sec.)이고, A는 무차원화된 진폭이며, f는 주파수로 단위는 Hz이다.
T는 주어진 회전변형각도 g(t)의 주기를 나타내며, 단위는 초이고, 주파수 f의 역수가 된다. 무차원화된 진폭 A는 0.1, 0.3, 0.5, 0.7로 놓았으며, 주기 T는 5초, 10초, 20초, 40초, 80초를 사용하여, 총 20개의 데이터 세트를 사용하였으며, PR 모델과 MPR 모델에 대하여, 주어진 동일한 변형각도로부터 구해진 모멘트 M(t)의 결과를 비교하였다.
Fig. 2는 주어진 사인함수 g(t) = Asin(2πft)에서 A = 0.7, f = 0.1Hz (T= 10초)의 주어진 변형 각도 함수인 g(t) = 0.7sin(0.2πt)를 나타내고 있으며,
Fig. 3은 g(t) = 0.7sin(0.2πt)를 PR 모델에 적용하여 나온 모멘트 M(t)를 나타내고 있다.
Figs. 4는
2에서 주어진 g(t) = 0.7sin(0.2πt)에 대하여 MPR 모델을 이용하여 구해진 모멘트 M(t)를 보여주고 있다.
Fig. 2Given rotational angle g(t) = Asin(0.2πt)
Fig. 3Moment output from PR model
Fig. 4Moment output from MPR model
Fig. 5Comparison of Moment output between MPR model and PR model
Fig. 6은 PR 모델에 대하여 모멘트와 변형각도의 관계를 그래프로 그린 것이며,
Fig. 7은 MPR 모델에 대하여 모멘트와 변형각도의 관계를 그래프로 그린 것이다.
Figs. 6의 PR 모델의 그래프는
7의 MPR 모델의 그래프에 비하여 부싱의 비선형성이 큰 것을 알 수 있으며, 이는 MPR 모델이 PR 모델을 단순화한 선형화 작업을 수행하였기 때문이다.
Fig. 6The relation between Moment and Rotational angle from PR model
Fig. 7The relation between Moment and Rotational angle from MPR model
Figs. 8은
6의 PR 모델과
7의 MPR 모델의 경우를 함께 표시한 것으로 앞서 언급한 비선형성의 차이를 확인할 수 있다.
Fig. 8Comparison of Moment output and Rotational angle between MPR model and PR model
주어진 PR 모델에 대한 MPR 모델의 모멘트 M(t)의 상대오차(Relative Error)를 비교하기 위하여, 상대오차를 2-놈(2-Norm)을 이용하여 정의하였다.
무차원화된 진폭 A와 주기 T에 대한 총 20개의 데이터 세트에 대한 MPR 모델의 PR 모델에 대한 상대오차는
Table 1과 같다.
Table 1Relative error of MPR model per PR model
Table 1
|
T [sec.] |
A= 0.1 |
A =0.3 |
A= 0.5 |
A = 0.7 |
|
T = 80 |
14.72% |
13.13% |
10.15% |
6.66% |
|
T = 40 |
15.45% |
13.82% |
10.78% |
7.09% |
|
T = 20 |
16.17% |
14.49% |
11.34% |
7.48% |
|
T = 10 |
15.06% |
13.32% |
10.08% |
6.28% |
|
T = 5 |
15.6% |
13.86% |
10.61% |
6.72% |
Table 1을 통하여 PR 모델에 대한 MPR 모델의 상대오차는 평균적으로 약 11.7%이고, 모든 상대오차가 20% 이내로 나타났다. Lee
10에서 사용한 스텝 회전 변형 각도 제어실험으로부터 나온 PR 모델에 대한 MPR 모델의 상대오차는 평균적으로 약 7.9%이고, 모든 상대오차가 15% 이내인 것을 고려해 볼 때, 사인함수의 회전변형각도 제어실험(Sinusoidal Rotational Angle Control Test)을 이용한 상대오차가 스텝회전변형각도 제어실험을 이용한 상대오차에 비하여 다소 높은 것은 사실이다. 하지만, 사인함수의 회전변형각도 제어실험을 이용한 상대오차가 평균 11.7%인 것과 최대 상대오차가 20% 이내라는 것은 점탄성학의 특성상 유효한 오차 범위이므로 제안된 MPR 모델은 사인함수 등 일반 함수에 있어서도 사용이 가능한 것으로 검증되었다.
4. 결론
본 연구에서는 회전 방향 모드에 대한 일래스토메릭 부싱의 MPR 모델이 일반적인 변형 각도에 대하여서도 사용이 가능한지에 대하여 검증하였으며, 사인함수를 이용한 회전변형각도 제어실험에서 상대오차가 20% 이내로 비선형 점탄성학의 분야에서의 상대오차 범위에서 사용이 가능함이 증명되었다. 또한, 리아니스의 실험식을 바탕으로 하여 모의실험을 통하여 만들어진 PR 모델과 MPR 모델이 모두 사용이 가능하다고 할 수 있다. 실제 부싱에 대하여 일래스토메릭 부싱 모델을 직접 활용하기 위하여는 리아니스의 실험식 대신에 고려대상이 되는 실제 부싱을 이용하여 회전 변형 각도 제어실험을 통하여 실험데이터를 얻어서 PR 모델을 완성하고, 완성된 PR 모델을 활용하여 모의실험을 통하여 MPR 모델을 만들게 되면, 이 MPR 모델은 자동차의 부싱에 직접 활용할 수 있는 모델로서 사용이 가능하게 된다. 본 연구를 통하여 MPR 모델을 만들 수 있는 모든 이론적 절차에 대한 근거가 완성되었고, 일반 함수의 범위에서도 사용이 가능함이 검증되었다.
ACKNOWLEDGMENTS
본 논문은 2019학년도 인제대학교 학술연구조성비 보조에 의한 것임.
REFERENCES
- 1.
Lee, S. B., “A Study of a Nonlinear Viscoelastic Model of Elastomeric Bushing Response,” Ph.D. Thesis, University of Michigan, 1997.
- 2.
Wineman, A., Van Dyke, T., and Shi, S., “A Nonlinear Viscoelastic Model for One Dimensional Response of Elastomeric Bushings,” International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 40, No. 12, pp. 1295-1305, 1998.
10.1016/S0020-7403(98)00023-X
- 3.
Lee, S. B. and Wineman, A., “A Model for Nonlinear Viscoelastic Torsional Response of an Elastomeric Bushing,” Acta Mechanica, Vol. 135, No. 3, pp. 199-218, 1999.
10.1007/BF01305752
- 4.
Boltzmann, L., “Zur Theorie der Elastischen Nachwirkung,” Annalen der Physik, Vol. 241, No. 11, pp. 430-432, 1878.
10.1002/andp.18782411107
- 5.
Adkins, J. and Gent, A., “Load-Deflexion Relations of Rubber Bush Mountings,” British Journal of Applied Physics, Vol. 5, No. 10, Paper No. 354, 1954.
10.1088/0508-3443/5/10/305
- 6.
Coleman, B. D. and Noll, W., “Foundations of Linear Viscoelasticity,” Reviews of Modern Physics, Vol. 33, No. 2, pp. 239-249, 1961.
10.1103/RevModPhys.33.239
- 7.
McGuirt, C. W. and Lianis, G., “Constitutive Equations for Viscoelastic Solids under Finite Uniaxial and Biaxial Deformations,” Transactions of the Society of Rheology, Vol. 14, No. 2, pp. 117-134, 1970.
10.1122/1.549182
- 8.
Pipkin, A. and Rogers, T., “A Non-Linear Integral Representation for Viscoelastic Behaviour,” Journal of the Mechanics and Physics of Solids, Vol. 16, No. 1, pp. 59-72, 1968.
10.1016/0022-5096(68)90016-1
- 9.
Lee, S. B., “Modified Pipkin-Rogers Modeling of Elastomeric Bushing in Axial Mode,” Journal of the Korean Society for Precision Engineering, Vol. 34, No. 9, pp. 653-658, 2017.
10.7736/KSPE.2017.34.9.653
- 10.
Lee, S. B., “Modified Pipkin-Rogers Modeling of Elastomeric Bushing in Torsional Mode,” Journal of the Korean Society for Precision Engineering, Vol. 37, No. 12, pp. 905-910, 2020.
10.7736/JKSPE.020.076
Biography
- Seong Beom Lee
Professor in the Department of Electronic, Telecommunications, Mechanical and Automotive Engineering, High Safety Vehicle Core Technology Research Center, Inje University. His research interest is mechanical engineering.
